Question

如圖，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn).

　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；

　　（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).若直線l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng)，恒有,求a的取值范圍.

Answer 1

本小題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本知識(shí)，考查分類與整合思想，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力.

    解法一：(Ⅰ)設(shè)M，N為短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

因?yàn)椤鱉NF為正三角形，

                所以,

                即

                因此，橢圓方程為

            (Ⅱ)設(shè)

             (ⅰ)當(dāng)直線 AB與x軸重合時(shí)，

               (ⅱ)當(dāng)直線AB不與x軸重合時(shí)，

                    設(shè)直線AB的方程為：

                    整理得

                    所以

                    因?yàn)楹阌?IMG align="middle" height=29 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/59/189806715910017559/11.gif" width=132 v:shapes="_x0000_i1224">，所以AOB恒為鈍角.

                    即恒成立.

                    

                             

又a²+b²m²＞0,所以-m²a²b²+b²-a²b²+a²＜0對(duì)mR恒成立，

即a²b²m²＞ a² -a²b²+b²對(duì)mR恒成立.

當(dāng)mR時(shí)，a²b²m²最小值為0，所以a² -a²b²+b²＜0.

a²＜ a²b²- b², a²＜( a²-1) b²= b⁴,

因?yàn)閍＞0,b＞0,所以a＜ b²,即a²-a-1＞0,

解得a＞或a＜(舍去)，即a＞,

綜合（i）(ii)，a的取值范圍為（，+）.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）解：（i）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，

x=1代入=1.

因?yàn)楹阌衸OA|²+|OB|²＜|AB|²,2(1+y_A²)＜4 y_A², y_A²＞1，即＞1,

解得a＞或a＜(舍去)，即a＞.

（ii）當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)A（x₁,y₁）, B（x₂,y₂）.

設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1)代入

得(b²+a²k²)x²-2a²k²x+ a² k²- a² b²=0,

故x₁+x₂=

因?yàn)楹阌衸OA|²+|OB|²＜|AB|²,

所以,

得x₁x₂+ y₁y₂＜0恒成立.

x₁x₂+ y₁y₂= x₁x₂+k²(x₁-1) (x₂-1)=(1+ k²) x₁x₂- k² (x₁+x₂)+ k²

=(1+k²).

由題意得（a²- a² b²+b²）k²- a² b²＜0對(duì)kR恒成立.

①當(dāng)a²- a² b²+b²＞0時(shí)，不合題意；

②當(dāng)a²- a² b²+b²=0時(shí)，a=;

③當(dāng)a²- a² b²+b²＜0時(shí)，a²- a²(a²-1)+ (a²-1)＜0，a⁴- 3a² +1＞0,

解得a²＞或a²＞（舍去），a＞，因此a.

綜合（i）（ii），a的取值范圍為（，+）.