Question

20．已知函數(shù)f（x）=log₂（2x）•log₂（4x），且$\frac{1}{4}$≤x≤4．
（1）求f（$\sqrt{2}$）的值；
（2）若令t=log₂x，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）將y=f（x）表示成以t（t=log₂x）為自變量的函數(shù)，并由此求函數(shù)y=f（x）的最小值與最大值及與之對應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）代值計算對數(shù)即可；
（2）由函數(shù)t=log₂x在[$\frac{1}{4}$，4]上是增函數(shù)，代值計算對數(shù)可得；
（3）換元可得f（x）=t²+3t+2，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₂（2x）•log₂（4x），且$\frac{1}{4}$≤x≤4．
∴f（$\sqrt{2}$）=log₂（2$\sqrt{2}$）•log₂（4$\sqrt{2}$）=log₂${2}^{\frac{3}{2}}$•log₂${2}^{\frac{5}{2}}$=$\frac{3}{2}×\frac{5}{2}$=$\frac{15}{4}$；
（2）∵函數(shù)t=log₂x在[$\frac{1}{4}$，4]上是增函數(shù)，
∴當(dāng)$\frac{1}{4}$≤x≤4時，-2=log₂$\frac{1}{4}$≤t=log₂x≤log₂4=2，
故實數(shù)t的取值范圍為[-2，2]；
（3）f（x）=log₂（2x）•log₂（4x）
=（1+log₂x）（2+log₂x）=（log₂x）²+3log₂x+2=t²+3t+2，
令g（t）=t²+3t+2=（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，t∈[-2，2]，
由二次函數(shù)可知當(dāng)t=-$\frac{3}{2}$時，函數(shù)取最小值-$\frac{1}{4}$，
此時log₂x=-$\frac{3}{2}$，解得x=${2}^{-\frac{3}{2}}$；
當(dāng)t=2時，函數(shù)取最大值12，
此時log₂x=2，解得x=4．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及換元法和二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．