Question

4．用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)$f（x）=\frac{x+1}{x-1}$在區(qū)間[2，6]上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義：取值、作差、判符號(hào)、下結(jié)論，即可證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，6]上的單調(diào)性．

解答 證明：∵f（x）=$\frac{x+1}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$，
∴任取x₁、x₂∈[2，6]，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（1+$\frac{2}{{x}_{1}-1}$）-（1+$\frac{2}{{x}_{2}-1}$）
=$\frac{2}{{x}_{1}-1}$-$\frac{2}{{x}_{2}-1}$
=$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}-1）{（x}_{2}-1）}$；
∵2≤x₁＜x₂≤6，
∴x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，6]上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分離常數(shù)法化簡(jiǎn)函數(shù)解析式以及根據(jù)函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為減函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．