Question

如圖，點是以線段為直徑的圓上一點，于點，過點作圓的切線，與的延長線交于點，點是的中點，連結并延長與相交于點，延長與的延長線相交于點.

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求證：是圓的切線.

Answer 1

（Ⅰ）詳見試題解析；（Ⅱ）詳見試題解析.

試題分析：（Ⅰ）由，可得，從而可得
通過等量代換及題設“點是的中點”可得.
（Ⅱ）目標是要證是直角，連結便可看出只要證得是等腰三角形即可．顯然是等腰三角形。因為直徑上的圓周角是直角，，所以是直角三角形. 由（Ⅰ）得所以，從而本題得證.
試題解析：證明：（Ⅰ） 是圓的直徑，是圓的切線，
．又，
．
可以得知，   ．
．．
是的中點，．．                        5分

（Ⅱ）連結．
是圓的直徑，．
在中，由（Ⅰ）得知是斜邊的中點，
．．
又，．
是圓的切線，
，
是圓的切線．                                                   10分