Question

（本小題滿分14分）

如圖5，三棱錐P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點(diǎn)，且CD平面PAB．

（1）求證：AB平面PCB；

（2）求異面直線AP與BC所成角的大小；

（3）求二面角C—PA—B的大小的余弦值．

Answer 1

（本小題滿分14分）

解：（1）因為PC^平面ABC，ABÌ平面ABC，

所以PC^AB．                         （1分）

因為CD^平面PAB，ABÌ平面PAB，

所以CD^AB．                         （2分）

又PCÇCD=C，所以AB^平面PCB．      （4分）

（2）由（1）AB^平面PCB，所以AB^BC.

又PC=AC=2，AB=BC，所以．

以B為原點(diǎn)，建立如圖5所示的直角坐標(biāo)系．   （5分）

則A（0，，0），B（0，0，0），C（，0，0），P（，0，2）． （6分）

于是，，．    （7分）

所以，     （8分）

故異面直線AP與BC所成的角為．                      （9分）

（3）設(shè)平面PAB的法向量為．

由，，

得解得

不妨令,  得．                        （11分）

設(shè)平面PAC的法向量為．

由，，

得 解得

不妨令，得 ．                               （13分）

于是，

故二面角C-PA-B大小的余弦值為．                      （14分）