Question

20．如圖，橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，F(xiàn)為右焦點，過F作直線l交橢圓于C、D兩點，求△OCD面積的最大值．

Answer 1

分析 通過設直線l方程為x=my+$\sqrt{2}$，并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理可知y_C+y_D=-$\frac{2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}$、y_Cy_D=-$\frac{2}{{m}^{2}+2}$，通過完全平方公式可知|y_C-y_D|=$\frac{4}{{m}^{2}+2}$•$\sqrt{{m}^{2}+1}$，通過換元法及基本不等式可知|y_C-y_D|≥2，利用S_△OCD=S_△OCF+S_△ODF計算即得結論．

解答 解：依題意，F(xiàn)（$\sqrt{2}$，0），OF=$\sqrt{2}$，
設直線l方程為：x=my+$\sqrt{2}$，并與橢圓方程聯(lián)立，
消去y、整理得：（m²+2）y²+$2\sqrt{2}$my-2=0，
∴y_C+y_D=-$\frac{2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}$，y_Cy_D=-$\frac{2}{{m}^{2}+2}$，
∴|y_C-y_D|=$\sqrt{（{y}_{C}+{y}_{D}）^{2}-4{y}_{C}{y}_{D}}$
=$\sqrt{（-\frac{2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}）^{2}+\frac{8}{{m}^{2}+2}}$
=$\frac{4}{{m}^{2}+2}$•$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
記t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，則m²=t²-1，
∴|y_C-y_D|=$\frac{4t}{{t}^{2}+1}$=$\frac{4}{t+\frac{1}{t}}$≤$\frac{4}{2\sqrt{t•\frac{1}{t}}}$=2（當且僅當$t=\frac{1}{t}$即t=1時等號成立），
∴當t=1即m=0時，|y_C-y_D|取最大值2，
∴S_△OCD=S_△OCF+S_△ODF
=$\frac{1}{2}$OF•|y_C|+$\frac{1}{2}$OF•|y_D|
=$\frac{1}{2}$OF•|y_C-y_D|
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•|y_C-y_D|
≥$\frac{\sqrt{2}}{2}•2$
=$\sqrt{2}$，
∴△OCD面積的最大值為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，注意解題方法的積累，屬于中檔題．