Question

設偶函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（2）=0，則不等式的解集為（ ）
A．（-2，0）∪（2，+∞）
B．（-∞，-2）∪（0，2）
C．（-∞，-2）∪（2，+∞）
D．（-2，0）∪（0，2）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，可將原不等式變形為xf（x）＞0，然后分兩種情況討論：當x＞0時有f（x）＞0，根據(jù)函數(shù)在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（2）=0，得到0＜x＜2；當x＜0時有f（x）＜0，結合函數(shù)為偶函數(shù)的性質與（0，+∞）上的單調性，得x＜-2．
解答：解：∵f（x）是偶函數(shù)
∴f（-x）=f（x）
不等式，即
也就是xf（x）＞0
①當x＞0時，有f（x）＞0
∵f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（2）=0
∴f（x）＞0即f（x）＞f（2），得0＜x＜2；
②當x＜0時，有f（x）＜0
∵-x＞0，f（x）=f（-x）＜f（2），
∴-x＞2⇒x＜-2
綜上所述，原不等式的解集為：（-∞，-2）∪（0，2）
故選B
點評：本題以函數(shù)的單調性和奇偶性為載體，考查了抽象不等式的解法，屬于基礎題．