Question

【題目】已知函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）= ．
（1）當(dāng)n∈N*時，求f（n）的表達(dá)式；
（2）設(shè)an=nf（n），n∈N* ， 求證a1+a2+a3+…+an＜2；
（3）設(shè)bn=（9﹣n） ，n∈N* ， Sn為bn的前n項(xiàng)和，當(dāng)Sn最大時，求n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=n．y=1，得到f（n+1）=f（n）f（1）= f（n），

所以{f（n）}是首項(xiàng)為 、公比為 的等比數(shù)列，即f（n）=

（2）解：∵ ， ，

，

兩式相減得： ，

整理得

（3）解：∵f（n）= ，而bn=（9﹣n） ，n∈N*，則bn= ，

當(dāng)n≤8時，bn＞0；當(dāng)n=9時，bn=0；當(dāng)n＞9時，bn＜0；

∴n=8或9時，Sn取到最大值

【解析】（1）由于函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y）對任意的實(shí)數(shù)x，y都成立，故可令x=n，y=1，再由f（1）= 得到f（n）的表達(dá)式；（2）由（1）知，an=nf（n）= ，故可用錯位相減法求出a1+a2+a3+…+an的表達(dá)式，即可得證；（3）由（1）和bn=（9﹣n） ，n∈N*可求bn的表達(dá)式，進(jìn)而求出Sn ， 由于數(shù)列為一種特殊函數(shù)，故可利用函數(shù)單調(diào)性得到Sn最大時的n值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）和數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握通項(xiàng)公式：；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能正確解答此題．