Question

15．經(jīng)過(guò)雙曲線上任一點(diǎn)M作平行于實(shí)軸的直線，與漸近線交于P、Q兩點(diǎn)，則|MP|•|MQ|為定值，其值為（　�。�

• A． a²
• B． b²
• C． c²
• D． ab

Answer 1

分析 先設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)M在雙曲線上，得到${x}^{2}={a}^{2}（1+\frac{{y}^{2}}{^{2}}）$；再根據(jù)條件求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入|MP|•|MQ|整理即可求出結(jié)論．

解答 解：經(jīng)過(guò)雙曲線上任一點(diǎn)M作平行于實(shí)軸的直線，與漸近線交于P、Q兩點(diǎn)，
設(shè)M（x，y），則有：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$⇒${x}^{2}={a}^{2}（1+\frac{{y}^{2}}{^{2}}）$①
且P（-$\frac{a}$y，y），Q（$\frac{a}$y，y），
∴$\overrightarrow{MP}$=（-$\frac{a}$y-x，0），$\overrightarrow{MQ}$=（$\frac{a}$y-x，0）
∴|MP|•|MQ|=$|\overrightarrow{MP}|•|\overrightarrow{MQ}|$=（-$\frac{a}$y-x）•（$\frac{a}$y-x）+0=x²-$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$y2=${a}^{2}（1+\frac{{y}^{2}}{^{2}}）$-$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$y²=a²．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的基本性質(zhì)以及向量的數(shù)量積，突出了對(duì)計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)能力的考查，屬中檔題．