Question

設(shè)f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若a=1，證明：成立．

Answer 1

（Ⅰ）解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＞0得；由f′（x）＜0得
∴函數(shù)f（x）在（）上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；
（Ⅱ）a=1時(shí)，f（x）=ln（x+1）+x
要證成立，由于x＞0，則只需證明xlnx+x²-3x-1＜0在x∈[1，2]時(shí)恒成立．
令g（x）=xlnx+x²-3x-1，則g′（x）=lnx+2x-2
設(shè)h（x）=lnx+2x-2，則∵x∈[1，2]，∴
∴函數(shù)h（x）在x∈[1，2]時(shí)單調(diào)遞增
∵h(yuǎn)（1）=0，∴g′（x）≥0
∴函數(shù)g（x）在x∈[1，2]時(shí)單調(diào)遞增
∴g（x）≤g（2）=2ln2-3＜0
∴xlnx+x²-3x-1＜0在x∈[1，2]時(shí)恒成立
∴成立．
分析：（Ⅰ）確定函數(shù)f（x）的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）要證成立，由于x＞0，則只需證明xlnx+x²-3x-1＜0在x∈[1，2]時(shí)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查不等式的證明，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．