Question

已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，準(zhǔn)線(xiàn)方程是y=-1的拋物線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)M（0，1）的直線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，若直線(xiàn)OA和直線(xiàn)OB的斜率之和為1。
（Ⅰ）求此拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求直線(xiàn)的方程；
（Ⅲ ）求直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交弦AB的弦長(zhǎng)。

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可知拋物線(xiàn)焦點(diǎn)在y軸正半軸，
設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由準(zhǔn)線(xiàn)方程是y=-1，可得p=2，
所以?huà)佄锞�(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為。
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)的方程為：y=kx+1，
代入拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，消y整理得，
設(shè)，，
則，                                         ①
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110113/20110113105040360968.gif">，，代入①，
得，                              ②
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110113/20110113105113219974.gif">，，代入②得k=1，
所以直線(xiàn)的方程為：y=x+1。
（Ⅲ）將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立得：，
消y整理得，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110113/20110113105205125952.gif">，，
∴。