Question

13．在△ABC中，三邊長(zhǎng)為連續(xù)的正整數(shù)，且最大角是最小角的2倍，則此三角形的三邊長(zhǎng)為（　�。�

• A． 1，2，3
• B． 2，3，4
• C． 3，4，5
• D． 4，5，6

Answer 1

分析 根據(jù)三角形滿(mǎn)足的兩個(gè)條件，設(shè)出三邊長(zhǎng)分別為n-1，n，n+1，三個(gè)角分別為α，π-3α，2α，由n-1，n+1，sinα，以及sin2α，利用正弦定理列出關(guān)系式，根據(jù)二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，表示出cosα，然后利用余弦定理得到（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n-1）n•cosα，將表示出的cosα代入，整理后得到關(guān)于n的方程，求出方程的解得到n的值，從而得到三邊長(zhǎng)的值，

解答 解：設(shè)三角形三邊是連續(xù)的三個(gè)自然n-1，n，n+1，三個(gè)角分別為α，π-3α，2α，
由正弦定理可得：$\frac{n-1}{sinα}$=$\frac{n+1}{sin2α}$，
∴cosα=$\frac{n+1}{2（n-1）}$，
再由余弦定理可得：（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα=（n+1）²+n²-2（n+1）n•$\frac{n+1}{2（n-1）}$，
化簡(jiǎn)可得：n²-5n=0，解得：n=5或n=0（舍去），
∴n=5，故三角形的三邊長(zhǎng)分別為：4，5，6
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察正弦定理在解三角形中的應(yīng)用問(wèn)題．解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)條件得到：（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα=（n+1）²+n²-2（n+1）n•$\frac{n+1}{2（n-1）}$，化簡(jiǎn)進(jìn)而求出結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題．