Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是與的等差中項(xiàng)（）.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)，使不等式恒成立，若存在，求出
的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1） （2）存在,11

試題分析：
（1）解法一：根據(jù)是與的等差中項(xiàng)，利用等差中項(xiàng)得到，（）①,
當(dāng)時(shí)有 ②,則①-②可得，從而可得數(shù)列通項(xiàng).
解法二:根據(jù)是與的等差中項(xiàng)，利用等差中項(xiàng)得到，（）①,根據(jù)該式的結(jié)構(gòu)特征,利用構(gòu)造法,可構(gòu)造出等比數(shù)列,從而求得,進(jìn)而利用得到數(shù)列的通項(xiàng).
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可知,數(shù)列是等比數(shù)列,所以可以得到其前項(xiàng)和;代入化簡(jiǎn),討論的奇偶發(fā)現(xiàn), 為奇數(shù)時(shí),恒成立; 為偶數(shù)時(shí),可將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在固定區(qū)間恒成立問(wèn)題,利用單調(diào)性可判斷是否存在這樣的正整數(shù).
試題解析：（1）解法一：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054928413439.png" style="vertical-align:middle;" />是與的等差中項(xiàng)，
所以（），即，（）①
當(dāng)時(shí)有 ②                             
①-②得，即對(duì)都成立     
又根據(jù)①有即，所以
所以. 所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列.
解法二：  因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054928413439.png" style="vertical-align:middle;" />是與的等差中項(xiàng)，
所以（），即，（）
由此得（），
又，所以（），
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列. 
得，即（），
所以，當(dāng)時(shí)，，     
又時(shí)，也適合上式，所以.
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可知,
數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,
所以其前項(xiàng)和為.
原問(wèn)題等價(jià)于（）①恒成立.
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不等式左邊恒為負(fù)數(shù),右邊恒為正數(shù),所以對(duì)任意正整數(shù)不等式恒成立；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，①等價(jià)于恒成立，
令，有，則①等價(jià)于在恒成立，     
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054930409313.png" style="vertical-align:middle;" />為正整數(shù)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸顯然在軸左側(cè),
所以當(dāng)時(shí),二次函數(shù)為增函數(shù),故只須，解得，，
所以存在符合要求的正整數(shù)，且其最大值為11.             求通項(xiàng);構(gòu)造等比數(shù)列法;分類討論;二次函數(shù)在固定區(qū)間恒成立.