Question

【題目】如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率，直線的方程為.

求橢圓的方程；

是經(jīng)過右焦點(diǎn)的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)），設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，記， ， 的斜率為， ， .問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)存在常數(shù)符合題意.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)離心率得a,b,c三者關(guān)系，再將P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，解得， .（2）先根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式化簡(jiǎn)，以及，再利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，最后作商得的值

試題解析： 由在橢圓上得， ①

依題設(shè)知，則②

②帶入①解得， ， .

故橢圓的方程為.

由題意可設(shè)的斜率為，

則直線的方程為③

代入橢圓方程并整理，得，

設(shè)， ，則有

， ④

在方程③中令得， 的坐標(biāo)為 .

從而， ， .

注意到， ， 共線，則有，即有.

所以⑤

④代入⑤得，

又，所以，故存在常數(shù)符合題意.