Question

已知數(shù)列f（x）=log_kx（k為常數(shù)，k＞0且k≠1），且數(shù)列{f（a_n）} 首項為a，公差為d的等差數(shù)列，且滿足不等式|a-4|+|d-2|≤0；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）若b_n=a_n•f（a_n），當k=

3

時，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．
（3）若C_n=a_nlga_n，問是否存在實數(shù)k，使得{C_n}中每一項恒小于它后面的項？若存在，求出k的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知可得f（a_n）=2n+2=log_ka_n，a_n=k²ⁿ⁺²；
（2）當k=

3

時，b_n=（2n+2）•3ⁿ⁺¹，利用“乘公比錯位相減”求和；
（3）由（1）可知c_n=（2n+2）•k²ⁿ⁺²lgk，若使得{c_n}中的每一項恒小于它后面的項⇒c_n＜c_n+1⇒（n+1）lgk＜（n+2）•k²•lgk對一切n∈N^*成立，分①lgk＞0②lgk＜0討論求解．

解答： 解：（1）由題意，a=4，d=2，
∴f（a_n）=4+（n-1）×2=2n+2，即log_ka_n=2n+2，
∴a_n=k²ⁿ⁺²；
（2）由（1）知，b_n=a_nf（a_n）=k²ⁿ⁺²•（2n+2），
當k=

3

時，b_n=（2n+2）•3ⁿ⁺¹．
∴S_n=4•3²+6•3³+…+（2n+2）•3ⁿ⁺¹，①
3S_n=4•3³+6•3⁴+…+2n•3ⁿ⁺¹+（2n+2）•3ⁿ⁺²．②
②-①，得S_n=

(2n+1)•3n+2-9

2

；
（3）由（1）知，c_n=a_nlga_n=（2n+2）•k²ⁿ⁺²lgk，要使c_n＜c_n+1對一切n∈N^*成立，
即（n+1）lgk＜（n+2）•k²•lgk對一切n∈N^*成立．
①當k＞1時，lgk＞0，n+1＜（n+2）k²對一切n∈N^*恒成立；
②當0＜k＜1時，lgk＜0，n+1＞（n+2）k²對一切n∈N^*恒成立，只需k²＜(

n+1

n+2

)min，
∵

n+1

n+2

=1-

1

n+2

單調(diào)遞增，
∴當n=1時，(

n+1

n+2

)min=

2

3

，
∴k²＜

2

3

，且0＜k＜1，
∴0＜k＜

6

3

．
綜上所述，存在實數(shù)k∈（0，

6

3

）∪（1，+∞）滿足條件．

點評：本題綜合考查數(shù)列的基本知識、方法和運算能力，滲透了函數(shù)的知識，以及分類討論和化歸、轉(zhuǎn)化的思想方法、．錯位相減法是數(shù)列求和的一種重要方法，學習中要引起重視．