Question

如圖，將圓分成n個(gè)區(qū)域，用3種不同顏色給每一個(gè)區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域顏色互異，把不同的染色方法種數(shù)記為an． (1) a1，a2，a3，a4 (2) an與an+1(n≥2)的關(guān)系式 (3) 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an，并證明an≥2n(n∈N+)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：當(dāng)n＝1時(shí)，不同的染色方法種數(shù)a1＝3， 當(dāng)n＝2時(shí)，不同的染色方法種數(shù)a2＝6， 當(dāng)n＝3時(shí)，不同的染色方法種數(shù)a3＝6， 當(dāng)n＝4時(shí)，分扇形區(qū)域1，3同色與異色兩種情形 ∴不同的染色方法種數(shù)a4＝3×1×2×2＋3×2×1×1＝18
(2)	解：依次對(duì)扇形區(qū)域1，2，3，…，n，n＋1染色，不同的染色方法種數(shù)為3×2n，其中扇形區(qū)域1與n＋1不同色的有an+1種，扇形區(qū)域1與n＋1同色的有an種 ∴an＋an+1＝3×2n(n≥2)
(3)	∵an＋an+1＝3×2n(n≥2) ∴a2＋a3＝3×22 a3＋a3＝3×23 ……………… an－1＋an＝3×2n－1 將上述個(gè)等式兩邊分別乘以(－1)k(k＝2，3，…，n－1)，再相加，得 ， ∴an＝2n＋2·(－1)n， 從而． 證明：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3＞2×1 當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝6＞2×2， 當(dāng)n≥3時(shí)， ， 故an≥2n(n∈N+)