Question

【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n和為Sn ， 且Sn= （n∈N*）．
（1）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)bn=an3n ， 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：證明：當(dāng)n≥2時(shí)， ．…①

…②

①﹣②得： ，

整理得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）=（an+an﹣1）．

∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，即an+an﹣1≠0，

∴an﹣an﹣1=1（n≥2）．

當(dāng)n=1時(shí)， ，得 ，

由a1＞0，得a1=2，…（4分）

∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．

（2）

解：由（1）得an=2+（n﹣1）×1=n+1

∴

…（1）

…+n×3n+（n+1）×3n+1…（2）

（1）﹣（2）得

∴

∴

【解析】（1）當(dāng)當(dāng)n≥2時(shí)，求得Sn及Sn﹣1 ， 做差求得： 整理得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）=（an+an﹣1）由an+an﹣1≠0，即可得到an﹣an﹣1=1，當(dāng)n=1時(shí)，求得a1=2即可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）由（1）求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ， 采用乘以公比“錯(cuò)位相減法”，即可求得Tn ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）的相關(guān)知識，掌握通項(xiàng)公式：或，以及對數(shù)列的前n項(xiàng)和的理解，了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．