Question

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線(xiàn)與以點(diǎn)A(0，)為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)．

(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；

(2)若Q是雙曲線(xiàn)C上的任一點(diǎn)，F₁、F₂為雙曲線(xiàn)C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，從F₁引∠F₁QF₂的平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程．

(3)設(shè)直線(xiàn)y＝mx＋1與雙曲線(xiàn)C的左支交于A、B兩點(diǎn)，另一直線(xiàn)L經(jīng)過(guò)M(－2，0)及AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)L在y軸上的截距b的取值范圍．S

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y＝kx，即kx－y＝0 　　∵該直線(xiàn)與圓相切， 　　∴雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)方程為　　2分 　　故設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為，又∵雙曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)為 　　∴，∴雙曲線(xiàn)C的方程為　　4分 　　(2)若Q在雙曲線(xiàn)的右支上，則延長(zhǎng)QF2到T，使|QT|＝|OF1| 若Q在雙曲線(xiàn)的左支上，則在QF2上取一點(diǎn)T，使|QT|＝|QF1|根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義|TF2|＝2，所以點(diǎn)T在以F2為圓心，2為半徑的圓上，即點(diǎn)T的軌跡方程是①　　6分 　　由于點(diǎn)N是線(xiàn)段F1T的中點(diǎn)，設(shè)N(x，y)，T() 　　則 　　代入①并整理得點(diǎn)N的軌跡方程為　　　8分 　　(3)由 　　令 　　直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程上有兩個(gè)不等實(shí)根． 　　因此　　　10分 　　又AB中點(diǎn)為 　　∴直線(xiàn)L的方程為　　　　　12分 　　令x＝0，得 　　∵　∴ 　　∴故b的取值范圍是　　　14分