Question

8．已知曲線C上的任意點M（x，y）與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離的比為$\frac{1}{2}$
（1）求曲線C的方程；
（2）已知直線x-y+2=0與曲線C交于E，F(xiàn)兩點，求三角形EOF的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{|MO|}{|MA|}=\frac{1}{2}$，可得$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}}=\frac{1}{2}$，化簡即可得出；
（2）⊙C的方程為：（x-1）²+y²=4，可得圓心C到直線的距離d，利用|EF|=2$\sqrt{{r}^{2}-99vhnk0^{2}}$．求出原點O到直線EF的距離h，利用S_△OEF=$\frac{1}{2}|EF|•h$即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\frac{|MO|}{|MA|}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}}=\frac{1}{2}$，化簡得：x²+y²+2x-3=0；
（2）⊙C的方程為：（x-1）²+y²=4，圓心C（-1，0），半徑r=2．
∴圓心C到直線的距離d=$\frac{|-1+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴|EF|=2$\sqrt{{r}^{2}-xsbzmds^{2}}$=$2\sqrt{4-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{14}$．
原點O到直線EF的距離h=$\frac{|0+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴S_△OEF=$\frac{1}{2}|EF|•h$=$\frac{1}{2}×\sqrt{14}×\sqrt{2}$=$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了直線與圓相交弦長、三角形面積計算公式、點到直線的距離公式、兩點之間的距離，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．