Question

某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B，及CD的中點(diǎn)P處，已知km, ,為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且A，B與等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO，BO，OP，設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為ykm。

（I）按下列要求寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式：

①設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式；

②設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式。

（Ⅱ）請(qǐng)你選用（I）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排水管道總長(zhǎng)度最短。

 

Answer 1

【答案】

（I）①

②

（Ⅱ）選擇函數(shù)模型①，P位于線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)上且距離AB邊處。

【解析】本小題考查函數(shù)最值的應(yīng)用。

（I）①由條件可知PQ垂直平分AB，，則

故，又，所以

。

②，則，所以，

所以所求的函數(shù)關(guān)系式為。

（Ⅱ）選擇函數(shù)模型①。

。

令得，又，所以。

當(dāng)時(shí)，，是的減函數(shù)；時(shí)，，是的增函數(shù)。

所以當(dāng)時(shí)。當(dāng)P位于線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)上且距離AB邊處。