【題目】設(shè)橢圓
，定義橢圓C的“相關(guān)圓”E為:
.若拋物線
的焦點與橢圓C的右焦點重合，且橢圓C的短軸長與焦距相等.
（1）求橢圓C及其“相關(guān)圓”E的方程；
（2）過“相關(guān)圓”E上任意一點P作其切線l，若l 與橢圓
交于A,B兩點，求證:
為定值（
為坐標原點）；
（3）在（2）的條件下，求
面積的取值范圍.
【答案】（1）
，
；（2）證明見解析；（3）
.
【解析】
（1）由題設(shè)知
，又
，從而可得
，得橢圓方程，及相關(guān)圓方程；
（2）對直線
斜率進行討論，斜率不存在時，直接寫出直線
方程，求出
坐標，得
，
斜率存在時，設(shè)直線方程為
，與橢圓方程聯(lián)立方程組，消元后得關(guān)于
的二次方程，有韋達定理得
，由直線與圓相切得
關(guān)系，計算
也可得，定值．
（3）由于
是“相關(guān)圓”半徑，所以
，結(jié)合韋達定理求得
，并得到其范圍，從而得面積的范圍．
（1）拋物線
的焦點是
，與橢圓的一個焦點重合，∴，又
，所以
，
橢圓方程為，“相關(guān)圓”
的方程為．
（2）當(dāng)直線
斜率不存在時，不妨設(shè)其方程為
，則
，可得．
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其方程為，設(shè)
，由
得
，
，即
，
由韋達定理得
，
．
因為直線與圓相切，所以
，整理得
，
所以
，所以
，，為定值．
（3）由于，因此求
面積的取值范圍只要求弦長的取值范圍．
當(dāng)直線斜率不存在時，
，
，
當(dāng)直線斜率存在時，
，
時，
0，
時，
，
∴
，即
，當(dāng)且僅當(dāng)
即
時，
．
所以的取值范圍是
，
故面積的取值范圍是
．
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
（
），過原點的兩條直線
和
分別與交于點
、
和
、
，得到平行四邊形
.
（1）當(dāng)為正方形時，求該正方形的面積
.
（2）若直線和關(guān)于
軸對稱，上任意一點
到和的距離分別為
和
，當(dāng)
為定值時，求此時直線和的斜率及該定值.
（3）當(dāng)為菱形，且圓
內(nèi)切于菱形時，求
，
滿足的關(guān)系式.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，
，
分別是橢圓的左右焦點，過點
的直線交橢圓于
，
兩點，且
的周長為12．
（Ⅰ）求橢圓
的方程
（Ⅱ）過點
作斜率為
的直線
與橢圓交于兩點
，
，試判斷在
軸上是否存在點
，使得
是以
為底邊的等腰三角形若存在，求點橫坐標的取值范圍，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（1）若
為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)僅一個零點，求a的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
的圖象過點
和點
.
（1）求函數(shù)
的最大值與最小值；
（2）將函數(shù)
的圖象向左平移
個單位后，得到函數(shù)
的圖象；已知點
，若函數(shù)的圖象上存在點
，使得
，求函數(shù)圖象的對稱中心.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知圓
，線段
、
都是圓
的弦，且與垂直且相交于坐標原點
，如圖所示，設(shè)△
的面積為
，設(shè)△
的面積為
.
（1）設(shè)點
的橫坐標為
，用表示
；
（2）求證：
為定值；
（3）用、
、
、
表示出
，試研究是否有最小值，如果有，求出最小值，并寫出此時直線的方程；若沒有最小值，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是（ ）
A. 消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米
B. 以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多
C. 甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油
D. 某城市機動車最高限速80千米/小時. 相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知頂點為原點的拋物線C的焦點與橢圓
的上焦點重合，且過點
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若拋物線上不同兩點A，B作拋物線的切線，兩切線的斜率
，若記AB的中點的橫坐標為m，AB的弦長
，并求的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知二次函數(shù)
的圖象的頂點坐標為
,且過坐標原點O,數(shù)列
的前n項和為
,點
(
)在二次函數(shù)的圖象上.
(1)求數(shù)列的表達式;
(2)設(shè)
(),數(shù)列
的前n項和為
,若
對恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)在數(shù)列中是否存在這樣的一些項,
,
,
,…
,…(
),這些項能夠依次構(gòu)成以
為首項,q(
,
)為公比的等比數(shù)列
?若存在,寫出
關(guān)于k的表達式;若不存在,說明理由.
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