Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)的直線l與E交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)l過(guò)點(diǎn)F時(shí)，直線l的斜率為，當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，.

（1）求橢圓E的方程.

（2）以AB為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).

【解析】

（1）根據(jù)直線的斜率公式求得的值，由，即可求得的值，求得橢圓方程；

（2）當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及以直徑的圓的方程，令，即可求得，即可判斷以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)．

（1）設(shè)橢圓半焦距為c，由題意，所以.

l的斜率不存在時(shí)，，所以，.

所以橢圓E的方程為.

（2）以AB為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).

理由如下：

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程，，，，，

聯(lián)立方程組，消去，

整理得，

所以，，

所以，，

以為直徑的圓的方程：，

即，

令，則，

解得或，

所以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)．

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，，

此時(shí)以AB為直徑的圓的方程為.

顯然過(guò)點(diǎn)．

綜上可知，以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)．