Question

11．已知雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，|F₁F₂|=6，P是E右支上一點，PF₁與y軸交于點A，△PAF₂的內切圓在邊AF₂上的切點為Q，若|AQ|=$\sqrt{3}$，則E的離心率是（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由雙曲線的定義和內切圓的切線性質：圓外一點向圓引切線，則切線長相等，結合離心率公式即可得到所求值．

解答 解：設△PAF₂的內切圓在邊PF₂上的切點為M，在AP上的切點為N，
則|PM|=|PN|，|AQ|=|AN|=$\sqrt{3}$，|QF₂|=|MF₂|，
由雙曲線的對稱性可得|AF₁|=|AF₂|=|AQ|+|QF₂|=$\sqrt{3}$+|QF₂|，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=|PA|+|AF₁|-|PM|-|MF₂|
=$\sqrt{3}$+|QF₂|+|AN|+|NP|-|PM|-|MF₂|
=2$\sqrt{3}$=2a，解得a=$\sqrt{3}$，
又|F₁F₂|=6，即有c=3，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，考查內切圓的切線性質，注意運用雙曲線的定義是解題的關鍵，屬于中檔題．