Question

已知在同一平面內的兩個向量

a

=(

3

sinx+cos(ωx+

π

3

)，-1)，

b

=(1，1-cos(ωx-

π

3

))，其中ω＞0，x∈R．函數(shù)f(x)=

a

•

b

，且函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在[0，

π

2

]上的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）把向量的坐標代入數(shù)量積公式，展開兩角和的余弦公式，化積后由周期公式求得ω的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）利用函數(shù)圖象的平移求得函數(shù)y=g（x），由復合函數(shù)單調性的求法求解函數(shù)y=g（x）在[0，

π

2

]上的單調遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）由向量

a

=(

3

sinx+cos(ωx+

π

3

)，-1)，

b

=(1，1-cos(ωx-

π

3

))，
得f(x)=

a

•

b

=

3

sinωx+cos（ωx+

π

3

）+cos（x-

π

3

）-1
=2sin（ωx+

π

6

）-1．
由

2π

ω

=π，得ω=2．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1；
（2）將函數(shù)的圖象向右平移

π

6

個單位后，得到函數(shù)y=g（x）的解析式為g(x)=2sin[2(x-

π

6

)+

π

6

]-1=2sin(2x-

π

6

)-1，
由題意，得2kπ-

π

2

≤x≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
∴函數(shù)y=g（x）在[0，

π

2

]上的單調遞增區(qū)間是[0，

π

6

]．

點評：本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，考查了三角函數(shù)中的恒等變換的應用，訓練了符合函數(shù)單調性的求法，是中檔題．