Question

【題目】試求出所有的正整數(shù)組，使得.

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

由題意設(shè).①

下面分兩種情況討論.

（1）若，則.因此，.顯然，.

若，則，故只能有；若，則是正整數(shù)，

故只可能有.

（2）若，由對(duì)稱(chēng)性不妨假設(shè)，即.考慮二次方程，②

其中，是方程②的一個(gè)根.

設(shè)方程的另一根為.由韋達(dá)定理有是，.所以，為正整數(shù)且.

下面證明：當(dāng)時(shí)，.

事實(shí)上，

.

又，，則 .所以，，成立.

由于和是方程②的兩個(gè)根，因此，對(duì)某個(gè)，

如果一組是方程①的解，

那么，也是方程①的解.

而，可因此，對(duì)方程①的任意一個(gè)解，

用來(lái)替換原來(lái)的，式①仍然成立.只要這里的，

這樣的替換便可以繼續(xù)下去.而每經(jīng)過(guò)一次這樣的替換，的值將會(huì)減少.

因此，經(jīng)過(guò)有限步之后，必有.

下面討論時(shí)，方程①的解.

（i）若，則方程①即為.而，

故僅有解.此時(shí)，.

（ii）若,則有.③

因?yàn)?/span>是正整數(shù)，所以， 是正整數(shù).

故.如果,則.解得.

于是，,,即,此時(shí)，.

如果,代入式③可得,即與矛盾.因此，只能取.

當(dāng)時(shí)，方程①的任意一個(gè)解經(jīng)過(guò)有限次替換以后必將變?yōu)?/span>.

反過(guò)來(lái)，對(duì)作上述替換的逆變換，

將生成方程的全部解.這些解可表示為，

在這里，數(shù)列滿(mǎn)足，以及遞推關(guān)系.

同理，當(dāng)時(shí)，方程的全部解為，

在這里，數(shù)列滿(mǎn)足,以及遞推關(guān)系.

當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性可知，方程的全部解為以及.

因此，全部解為.其中，數(shù)列滿(mǎn)足，；數(shù)列滿(mǎn)足，.