Question

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C：的一個焦點(diǎn)為F1(0,3)，M(x,4)(x＞0)為橢圓C上一點(diǎn)，△MOF1的面積為.

（1） 求橢圓C的方程；

（2） 是否存在平行于OM的直線l，使得直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1） （2） 符合題意的直線存在，且所求的直線的方程為或.

【解析】

試題分析：（1） 求橢圓C的方程，根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)為，可得橢圓的方程為，利用橢圓上一點(diǎn)，利用的面積為，可求出的坐標(biāo)，將的坐標(biāo)代入橢圓的方程，即可確定橢圓的方程；（2） 這是探索性命題，可假設(shè)存在符合題意的直線l存在，設(shè)直線方程代入橢圓方程，消去y，可得一元二次方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)，得，利用即可求得結(jié)論．

試題解析：（1） 因?yàn)闄E圓C的一個焦點(diǎn)為F1(0,3)，

所以b2＝a2＋9.

則橢圓C的方程為＋＝1.

因?yàn)?/span>x＞0，所以＝×3×x＝，解得x＝1.

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,4)．

因?yàn)?/span>M(1,4)在橢圓上，

所以＋＝1，得a4－8a2－9＝0，解得a2＝9或a2＝－1(不合題意，舍去)，

則b2＝9＋9＝18，所以橢圓C的方程為. 6分

（2） 假設(shè)存在符合題意的直線l與橢圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，

其方程為y＝4x＋m(因?yàn)橹本�OM的斜率k＝4)．

由消去y化簡得18x2＋8mx＋m2－18＝0.

進(jìn)而得到x1＋x2＝－，x1x2＝.

因?yàn)橹本�l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，

所以Δ＝(8m)2－4×18×(m2－18)＞0，

化簡得m2＜162，解得－9＜m＜9.

因?yàn)橐跃�段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)，所以＝0，

所以x1x2＋y1y2＝0.

又y1y2＝(4x1＋m)(4x2＋m)＝16x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2，

x1x2＋y1y2＝17x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝0.

解得m＝±.

由于±∈(－9，9)，

所以符合題意的直線l存在，且所求的直線l的方程為y＝4x＋或y＝4x－. 13分

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．