Question

在數(shù)列{a_n}中，a₃=1，S_n是其前n項和，且S_n=a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a_n，S_n；
（Ⅱ）設b_n=log₂S_n，數(shù)列{c_n}滿足c_n•b_n+3•b_n+4=1+n（n+1）（n+2）•2^b_n，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，當n＞1時，求使

2

n-1

T_n＜2ⁿ+

n+1

5

成立的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）當n=1時，a₁=a₂，當n=2時，a₁+a₂=a₃=1，從而a1=a2=

1

2

，由

Sn=an+1 Sn-1=an，n≥2

，得2a_n=a_n+1，n≥2，從而數(shù)列{a_n}從第二項起是首項為

1

2

，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出a_n，S_n．
（Ⅱ）由S_n=2^n-2，得b_n=log₂S_n=n-2，從而由c_n•b_n+3•b_n+4=1+n（n+1）（n+2）•2^b_n，得到c_n=

1

(n+1)(n+2)

+n•2^n-2，由此利用分組求和法和裂項求和法求出T_n=

n+1

n+2

+(n-1)•2n-1，由此能求出當n＞1時，使

2

n-1

Tn＜2n+

n+1

5

成立的最小正整數(shù)n的值為n=4．

解答： 解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=a₂，
當n=2時，a₁+a₂=a₃=1，
∴a1=a2=

1

2

，
由

Sn=an+1 Sn-1=an，n≥2

，得a_n=a_n+1-a_n，即2a_n=a_n+1，n≥2，

an+1

an

=2，n≥2，∵

a2

a1

=1，
∴數(shù)列{a_n}從第二項起是首項為

1

2

，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=

1 2 ，n=1 2n-1，n≥2

，
∴Sn=an+1=2n-2．

（Ⅱ）由S_n=2^n-2，得b_n=log₂S_n=n-2，
∵c_n•b_n+3•b_n+4=1+n（n+1）（n+2）•2^b_n=1+n（n+1）（n+2）•2^n-2，
c_n=

1

(n+1)(n+2)

+n•2^n-2，
∴T_n=

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n+1)(n+2)

+1×2^-1+2×2⁰+3×2+…+n•2^n-2，
令A=

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n+1)(n+2)

=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

，
令B=1×2^-1+2×2+3×2¹+4×2²+…+（n-1）•2^n-1
2B=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，
-B=2^-1+2⁰+2+2²+…+2^n-2-n•2^n-1，
B=（n-1）•2n-1+

1

2

，
∴T_n=

1

2

-

1

n+2

+(n-1)•2n-1+

1

2

=

n+1

n+2

+(n-1)•2n-1，
當n＞1時，

2

n-1

Tn＜2ⁿ+

n+1

5

，即2n+

2(n+1)

(n-1)(n+2)

＜2n+

n+1

5

，
∴n²+n-12＞0，（n+4）（n-3）＞0，n＞3，
∴當n＞1時，使

2

n-1

Tn＜2n+

n+1

5

成立的最小正整數(shù)n的值為n=4．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，考查不等式的求法，解題時要認真審題，注意分組求和法、裂項求和法、構造法的合理運用．