Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長(zhǎng)為1，P為側(cè)面BB₁C₁C內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PA=2PB，則P點(diǎn)所形成軌跡圖形的長(zhǎng)度為（　�。�

• A．

  2

• B．

  2 3

  3

  π
• C．π
• D．

  3

  6

  π

Answer 1

分析：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可求得A，B的坐標(biāo)，設(shè)P（x，1，z）利用PA=2PB，可求得P點(diǎn)所形成軌跡方程，從而可得答案．

解答：解：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD′為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），B（1，1，0），
∵P為側(cè)面BB₁C₁C內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，
設(shè)P（x，1，z），
則|PA|=

(x-1)2+(1-0)2+z2

，|PB|=

(x-1)2+(1-1)2+z2

，
∵PA=2PB，
∴(

(x-1)2+(1-0)2+z2

)2=4(

(x-1)2+(1-1)2+z2

)2，
∴（x-1）²+z²=

1

3

，
∴點(diǎn)P是以（1，1，0）為圓心，以

3

3

為半徑的球與面BB₁C₁C內(nèi)相交的圓面．
∴軌跡圖形的長(zhǎng)度為該圓的周長(zhǎng)2π×

3

3

=

2 3

3

π．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間兩點(diǎn)間的距離公式，考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，求得P點(diǎn)所形成軌跡方程是難點(diǎn)，也是關(guān)鍵，屬于中檔題．