Question

已知函數定義域為(),設.

（1）試確定的取值范圍,使得函數在上為單調函數；

（2）求證:；

（3）求證:對于任意的,總存在,滿足,并確定這樣的

 的個數

Answer 1

解: (Ⅰ)因為………………2分

由；由,所以在上遞增,在上遞減 ,欲在上為單調函數,則       …………4分

(Ⅱ)證明:因為在上遞增,在上遞減,所以在處取得極小值                                            ……………………………6分

 又,所以在上的最小值為

 從而當時,,即  ……………………………………………9分

（Ⅲ）證:因為,     即為,

   令,從而問題轉化為證明方程=0

在上有解,并討論解的個數            …………………………………………11分

 因,,

所以 ①當時,,

所以在上有解,且只有一解          ………………………………13分

②當時,,但由于,

所以在上有解,且有兩解       ………………………………………14分

③當時,,所以在上有僅有一解；

當時,,

所以在上也有且只有一解           ………………………………15分

綜上所述, 對于任意的,總存在,滿足,

且當時,有唯一的適合題意；

當時,有兩個適合題意                     …………………………16分