Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{sin\frac{11π}{3}}{cos\frac{4π}{3}}$sin（2x+φ），0＜φ＜$\frac{π}{2}$，且f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對稱．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若對于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有m²-3m+$\frac{1}{2}$≤f（x）≤-m²+3m+$\sqrt{3}$，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)的解析式為 f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ），再根據(jù)它的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對稱求得φ的值，可得f（x）的解析式；再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）∈[-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．再根據(jù)m²-3m+$\frac{1}{2}$≤f（x）≤-m²+3m+$\sqrt{3}$，可得 m²-3m+$\frac{1}{2}$≤-$\frac{3}{2}$，且-m²+3m+$\sqrt{3}$≥$\sqrt{3}$，由此求得m的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{sin\frac{11π}{3}}{cos\frac{4π}{3}}$sin（2x+φ）=$\frac{sin（-\frac{π}{3}）}{-cos\frac{π}{3}}$sin（2x+φ）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ），
它的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對稱，
∴$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，即 φ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
再結(jié)合0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{3}$，∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得 kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，∴f（x）∈[-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．
再根據(jù)m²-3m+$\frac{1}{2}$≤f（x）≤-m²+3m+$\sqrt{3}$，可得 m²-3m+$\frac{1}{2}$≤-$\frac{3}{2}$，且-m²+3m+$\sqrt{3}$≥$\sqrt{3}$，
求得1≤m≤2．

點(diǎn)評 本題主要考查誘導(dǎo)公式、正弦函數(shù)的圖象的對稱性、正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．