Question

22．已知點是拋物線上的兩個動點，是坐標原點，向量滿足，設圓的方程為．

（1）證明線段是圓的直徑；

（2）當圓的圓心到直線的距離的最小值為時，求的值．

Answer 1

本小題主要考查平面向量的基本運算，圓與拋物線的方程，點到直線的距離等基礎知識，以及綜合運用解析幾何知識解決問題的能力.

（Ⅰ）證法一：∵.

∴，即

²+2·+²=²-2·+².整理得

·=0，

∴x₁x₃+y₁y₃=0.                                   ①

設點M（x，y）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點，則

·=0，

即

（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0.

展開上式并將①代入得

x³+y²=（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0.

故線段AB是圓C的直徑.

證法二：∵|+|=|-|，

∴（+）²=（-）²，即

  ²+2·+²=²-2·+².整理得

·=0，

∴x₁x₂+y₁y₂=0.                                   ①

若點（x，y）在以線段AB為直徑的圓上，則

       =-1，（x≠x₁，x≠x₂）

去分母得

   （x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0.

點（x₁，y₁），（x₁，y₂），（x₂，y₁），（x₂，y₂）滿足上方程，展開并將①代入得

x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0.

所以線段AB是圓C的直徑.

證法三：∵|+|=|-|，

∴（+）²=（-）²，即

²+2·+²=²-2·+²,整理得

·=0，

∴x₁x₂+y₁y₂=0.                                   ①

以AB為直徑的圓的方程是

（x-）²+（y-）²=［（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²］，

展開，并將①代入得

x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁₊y₂）y=0，

所以線段AB是圓C的直徑.

（Ⅱ）解法一：設圓C的圓心為C（x，y），則

∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂（p＞0），

∴x₁x₂=，

又∵x₁x₂+y₁y₂=0.

∴x₁x₂=-y₁y₂，

∴-y₁y₂=，

∵x₁x₂≠0，

∴y₁y₂≠0，

∴y₁y₂=-4p².

∴x=

   =

   =.

所以圓心的軌跡方程為：

y²=px-2p².

設圓心C到直線x-2y=0的距離為d，則

d=

 =

 =.

當y=p時，d有最小值，由題設得

，

∴p=2.

解法二：設圓C的圓心為C（x，y），則

∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂（p＞0），

∴x₁x₂=.

又∵x₁x₂+y₁y₂=0，

∴x₁x₂=-y₁y₂，

∵x₁x₂≠0，

∴y₁y₂=-4p²，

∵x=

   =）

   =

   =.

所以圓心的軌跡方程為

y²=px-2p².

設直線x-2y+m=0與x-2y=0的距離為，則

m=±2.

因為x-2y+2=0與y²=px-2p²無公共點，

所以當x-2y-2=0與y²=px-2p²僅有一個公共點時，該點到x-2y=0的距離最小，最小值為.

將②代入③得

y²-2py+2p²-2p=0.有

△=4p²-4（2p²-2p）=0.

∵p＞0，

∴p=2.

解法三：設圓C的圓心為C（x，y），則

若圓心C到直線x-2y=0的距離為d，那么

d=.

∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂（p＞0），

∴x₁x₂=.

又∵x₁x₂+y₁y₂=0，

∴x₁x₂=-y₁y₂，

∵x₁x₂≠0，

∴y₁y₂=-4p².

∴d=

   =

   =.

當y₁+y₂=2p時，d有最小值，由題意得

，

∴p=2.