Question

19．已知直線l₁：2x-y-4=0與直線l₂：x+y-2=0相交于點P，求：
（1）以點P為圓心，半徑為1的圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過點M（1，3）的直線l與圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立方程組求出公共解，求出P的坐標(biāo)，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到結(jié)論．
（2）設(shè)出直線的斜率，利用直線和圓相切的等價條件進(jìn)行求解即可求直線l的方程．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-4=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，即P（2，0），
則以點P為圓心，半徑為1的圓C的方程為（x-2）²+y²=1；
（2）在（1）的條件下，過點M（1，3）的直線l與圓C相切，
若直線斜率不存在，則此時直線方程為x=1，圓心到直線x=1的距離d=2-1=1，此時直線和圓相切，滿足條件，
若直線斜率k存在，則此時直線方程為y-3=k（x-1），
即kx-y+3-k=0，
圓心到直線kx-y+3-k=0的距離d=$\frac{|2k+3-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|k+3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
平方得k²+6k+9=1+k²，
即6k=-8，得k=-$\frac{8}{6}$=-$\frac{4}{3}$，
則此時直線的方程為-$\frac{4}{3}$x-y+3-（-$\frac{4}{3}$）=0，即4x+3y-13=0，
綜上直線l的方程為4x+3y-13=0或x=1．

點評 本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)直線相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于半徑是解決本題的關(guān)鍵．