Question

已知不等式ax²＋(a－1)x＋a－1＜0對于所有的實數(shù)x都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

這是一個含參數(shù)的不等式，是本題的逆問題，即已知其解集，確定其中參數(shù)的取值范圍．不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0對于所有的實數(shù)x都成立，也就是不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0的解集為R，注意到原不等式二次項系數(shù)a不知符號，故有可能不是二次不等式，所以應(yīng)分a＝0與a≠0討論．在討論a≠0時，結(jié)合二次函數(shù)的圖象進行． 　　若a＝0，原不等式為一次不等式，可化為－x－1＜0，顯然它對于任意的x不都成立．所以a＝0不符合題目要求． 　　若a≠0，原不等式為二次不等式，由于所給的不等式對于所有的實數(shù)x都成立，所以對應(yīng)二次函數(shù)的圖象拋物線必須開口向下，且判別式△＜0． 　　即 　　可得a＜－，∴a的取值范圍是(－∞，－)． 　　一般地，關(guān)于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，對任意實數(shù)x恒成立的充要條件是關(guān)于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0，對任意實數(shù)x恒成立的充要條件是這一點可通過觀察二次函數(shù)的圖象得出．