Question

已知四棱錐P－ABCD的三視圖和直觀圖如下：

(1)求四棱錐P－ABCD的體積；

(2) 若E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)，是否不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．

(3) 若F是側(cè)棱PA上的動(dòng)點(diǎn)，證明：不論點(diǎn)F在何位置，都不可能有BF⊥平面PAD。

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE成立(3) 假設(shè)BF⊥平面PAD，這與Rt△PAD中∠PDA為銳角矛盾．∴ BE不可能垂直于平面SCD

【解析】

試題分析：(1)由三視圖可知，四棱錐中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PC＝2，∴V_P－ABCD＝·PC·S_底＝×2×1＝.   3分

(2)不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE成立．   4分

連接AC，∵BD⊥AC，BD⊥PC，且∴BD⊥平面PAC，   7分

當(dāng)E在PC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，∴BD⊥AE恒成立．   8分

（3）用反證法：假設(shè)BF⊥平面PAD，  9分

又  11分

 ， 12分這與Rt△PAD中∠PDA為銳角矛盾．∴ BE不可能垂直于平面SCD  13分

考點(diǎn)：錐體體積及線線垂直線面垂直的判定

點(diǎn)評(píng)：椎體體積公式，本題中在求解第二問(wèn)第三問(wèn)時(shí)還可通過(guò)空間向量的方法求解，根據(jù)已知條件可建立以點(diǎn)為原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系，通過(guò)直線的方向向量與平面的法向量判定線面位置關(guān)系