Question

14．已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，且對(duì)任意的x∈[-1，1]，不等式 f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 確定f（x）是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，對(duì)任意的x∈[-1，1]，不等式 f（ax+1）≤f（x-2）恒成立?ax+1≥x-2對(duì)于任意x∈[-1，1]恒成立?（a-1）x+3≥0對(duì)于任意x∈[-1，1]恒成立可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，
∴f（x）是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，
∴對(duì)任意的x∈[-1，1]，不等式 f（ax+1）≤f（x-2）恒成立
?ax+1≥x-2對(duì)于任意x∈[-1，1]恒成立?（a-1）x+3≥0對(duì)于任意x∈[-1，1]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-（a-1）+3≥0}\\{a-1+3≥0}\end{array}\right.$，解得2≤a≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，考查抽象不等式的求解，解決本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)單調(diào)性去掉不等式中的符號(hào)“f”．