Question

7．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，有$\frac{xf'（x）-f（x）}{x^2}＞0$成立，則不等式x•f（x）＞0的解集是（　�。�

• A． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• B． （-1，0）∪（0，1）
• C． （1，+∞）
• D． （-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
則g′（x）=[$\frac{f（x）}{x}$]′=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0，即x＞0時(shí) $\frac{f（x）}{x}$是增函數(shù)，
當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）=0，此時(shí)f（x）＞0；
0＜x＜1時(shí)，g（x）＜g（1）=0，此時(shí)f（x）＜0．
又f（x）是奇函數(shù)，所以-1＜x＜0時(shí)，f（x）=-f（-x）＞0；
x＜-1時(shí)f（x）=-f（-x）＜0．
則不等式x•f（x）＞0等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{x＜-1}\end{array}\right.$，
即x＞1或x＜-1，
則不等式xf（x）＞0的解集是（-∞，-1）∪（1，+∞），
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用．在判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，�？衫�用導(dǎo)函數(shù)來(lái)判斷．構(gòu)造函數(shù)函數(shù)解決本題的關(guān)鍵．