Question

如圖，已知菱形ABCD的邊長為6，∠BAD＝60°，AC⊥BD＝O．將菱形ABCD沿對角線AC折起，使BD＝3，得到三棱錐B－ACD．

(Ⅰ)若點M是棱BC的中點，求證：OM∥平面ABD；

(Ⅱ)求二面角A－BD－O的余弦值；

(Ⅲ)設(shè)點N是線段BD上一個動點，試確定N點的位置，使得CN＝4，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明：因為點是菱形的對角線的交點，所以是的中點．又點是棱的中點，

　　所以是的中位線，．

　　因為平面，平面，

　　所以平面．

　　(Ⅱ)解：由題意，，因為，

　　所以，．又因為菱形，所以，．

　　建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．

　　．

　　所以

　　設(shè)平面的法向量為，

　　則有即：

　　令，則，所以．

　　因為，所以平面．

　　平面的法向量與平行，

　　所以平面的法向量為．

　　，因為二面角是銳角，

　　所以二面角的余弦值為．

　　(Ⅲ)解：因為是線段上一個動點，設(shè)，＝λ，

　　則，所以，

　　則，＝，

　　由得，即，

　　解得或，

　　所以點的坐標(biāo)為或．(也可以答是線段的三等分點，＝2或2＝)