Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25及直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）
（Ⅰ）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l恒過定點(diǎn)（3，1）；
（Ⅱ）求直線l與圓C所截得的弦長最小時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把已知直線l的方程變形為m（2x+y-7）+x+y-4=0，可得直線l必過直線2x+y-7=0與直線x+y+4=0的交點(diǎn)，故聯(lián)立兩直線的方程組成方程組，求出方程組的解，得到交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），故不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l恒過定點(diǎn)（3，1），得證；
（Ⅱ）由A到圓心的距離d小于圓的半徑，判斷得到點(diǎn)A在圓內(nèi)，故直線l與圓C所截得的弦長最小時(shí)，為與直徑AC垂直的弦，故連接AC，過A作AC的垂線，此時(shí)的直線與圓C相交于B、D，BD為直線被圓所截得的最短弦長，由A與C的坐標(biāo)求出直線AC的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，求出直線BD的斜率，再由A的坐標(biāo)，寫出直線BD的方程，即為所求的直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵直線方程l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，
可以改寫為m（2x+y-7）+x+y-4=0，…（3分）
∴直線必經(jīng)過直線2x+y-7=0和x+y-4=0的交點(diǎn)，
由方程組

2x+y-7=0 x+y-4=0

，
解得

x=3 y=1

，即兩直線的交點(diǎn)為A（3，1），…（5分）
則不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l恒過定點(diǎn)（3，1）；…（6分）
（Ⅱ）∵圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，
∴圓心C（1，2），半徑r=5，
∵點(diǎn)A（3，1）與圓心C（1，2）的距離d=

5

＜5，
∴A點(diǎn)在C內(nèi)，
連接AC，過A作AC的垂線，
此時(shí)的直線與圓C相交于B、D，BD為直線被圓所截得的最短弦長，…（8分）．
∵直線AC的斜率kAC=-

1

2

，…（10分）
∴直線BD的斜率為2，
則此時(shí)直線l方程為：y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，以及恒過定點(diǎn)的方程，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)與圓位置的判斷，兩點(diǎn)間的距離公式，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，垂徑定理，以及兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，把直線l的方程適當(dāng)變形為m（2x+y-7）+x+y-4=0是解第一問的關(guān)鍵，連接AC，過A作AC的垂線，此時(shí)的直線與圓C相交于B、D，BD為直線被圓所截得的最短弦長是解第二問的關(guān)鍵．