Question

1．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為a的正三角形，側(cè)棱長為$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，點D在棱A₁C₁上．
（1）若A₁D=DC₁，求證：直線BC₁∥平面AB₁D；
（2）是否存在D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁？若存在，請確定D的位置．

Answer 1

分析 （1）連接A₁B交AB₁于E點，由A₁D=DC₁，結(jié)合三角形中位線定理可得DE∥BC₁，進而根據(jù)線面平行的判定定理得到直線BC₁∥平面AB₁D；
（2）過點D作DN⊥AB₁于N，過D作DM⊥A₁B₁于M，由線面垂直的判定定理及同一法，可得M、N應(yīng)重合于B₁點，由點D在棱A₁C₁上，故∠A₁B₁D≤∠A₁B₁C₁=60⁰，故不存在這樣的點D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁．

解答 解：（1）證明：連接A₁B交AB₁于E點，
在平行四邊形ABB₁A₁中，有A₁E=BE，又A₁D=DC₁…（2分）
∴DE為△A₁BC₁的中位線，從而DE∥BC₁，
又DE?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，
∴直線BC₁∥平面AB₁D…（4分）
（2）假設(shè)存在點D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁，
過點D作DN⊥AB₁于N，則DN⊥平面ABB₁A₁，
又過D作DM⊥A₁B₁于M，則DM⊥平面ABB₁A₁，…（6分）
而過平面外一點有且僅有一條直線與已知平面垂直，
故M、N應(yīng)重合于B₁點，此時應(yīng)有DB₁⊥A₁B₁，故∠A₁B₁D=90°，…（7分）
又點D在棱A₁C₁上，故∠A₁B₁D≤∠A₁B₁C₁=60⁰，
顯然矛盾，故不存在這樣的點D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁．…（9分）

點評 本題考查的知識點是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合體，直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是證得DE∥BC₁，（2）的關(guān)鍵是使用反證法和同一法等間接手法進行證明．