Question

為了對2007年佛山市中考成績進行分析，在60分以上的全體同學(xué)中隨機抽出8位，他們的數(shù)學(xué)分數(shù)（已折算為百分制）從小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分數(shù)從小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95．
（1）若規(guī)定85分（包括85分）以上為優(yōu)秀，求這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分數(shù)均為優(yōu)秀的概率；
（2）若這8位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)分數(shù)事實上對應(yīng)如下表：

用變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)說明物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的相關(guān)程度；
（3）求y與x、z與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并用相關(guān)指數(shù)比較所求回歸模型的效果．
參考數(shù)據(jù)：

.

x

=77.5，

.

y

=85，

.

z

=81，

8

i=1

(xi-

.

x

 )2≈1050，

8

i=1

(yi-

.

y

 )2≈456，

8

i=1

(zi-

.

z

 )2≈550，

8

i=1

(xi-

.

x

 )(yi-

.

y

 )≈688，

8

i=1

(xi-

.

x

 )(zi-

.

z

 )≈755，

8

i=1

(yi-

?

y

i)2≈7，

8

i=1

(zi-

?

z

i)2≈94，

1050

≈32.4，

456

≈21.4，

550

≈23.5．

Answer 1

分析：本題考查組合及運算、概率、相關(guān)系數(shù)的運算、回歸直線方程的求法和回歸模型的擬合效果判斷等多方面知識和方法．
（1）先從物理的4個優(yōu)秀分數(shù)中選出3個與數(shù)學(xué)優(yōu)秀分數(shù)對應(yīng)，種數(shù)是C₄³A₃³（或A₄³），然后將剩下的5個數(shù)學(xué)分數(shù)和物理分數(shù)任意對應(yīng)，種數(shù)是A₅⁵．則恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分數(shù)均為優(yōu)秀的選取種數(shù)為C₄³A₃³A₅⁵，問題得解；
（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以及相關(guān)系數(shù)公式計算可得物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的相關(guān)系數(shù)，其相關(guān)程度易見；
（3）根據(jù)最小二乘法計算可得回歸方程

y

=b

x

+a中的b和a，回歸直線方程即得，通過相關(guān)指數(shù)R²的計算可以得到回歸方程的擬合程度．

解答：解：（1）這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分數(shù)均為優(yōu)秀，
則需要先從物理的4個優(yōu)秀分數(shù)中選出3個與數(shù)學(xué)優(yōu)秀分數(shù)對應(yīng)，
種數(shù)是C₄³A₃³（或A₄³），然后將剩下的5個數(shù)學(xué)分數(shù)和物理分數(shù)任意對應(yīng)，
種數(shù)是A₅⁵．根據(jù)乘法原理，滿足條件的種數(shù)是C₄³A₃³A₅⁵． （2分）
這8位同學(xué)的物理分數(shù)和數(shù)學(xué)分數(shù)分別對應(yīng)的種數(shù)共有A₈⁸． （5分）
故所求的概率P=

C 3 4 A 3 3 A 5 5

A 8 8

=

1

14

． （4分）

（2）變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)分別是r=

688

32.4×21.4

≈0.99、r′=

755

32.4×23.5

≈0.99．
可以看出，物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的成績都是高度正相關(guān)．（6分）

（3）設(shè)y與x、z與x的線性回歸方程分別是

?

y

=bx+a、

?

z

=b′x+a′．
根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計算出b=

688

1050

=0.65，a=85-0.65*77.5=34.63，b′=

755

1050

=0.72，a′=81-0.72*77.5=25.20．（8分）
所以y與x和z與x的回歸方程分別是

?

y

=0.65x+34.63、

?

z

=0.72x+25.20．（11分）
又y與x、z與x的相關(guān)指數(shù)是R2=1-

7

456

≈0.98、R′2=1-

94

550

≈0.83． （11分）
故回歸模型

?

y

=0.65x+34.63比回歸模型

?

z

=0.72x+25.20的擬合的效果好．（12分）

點評：本題綜合性強，所用知識、方法眾多，將回歸分析的相關(guān)知識的考查發(fā)揮到了極值，盡管已知中提供了大量的數(shù)據(jù)，但計算量仍然很大，如相關(guān)系數(shù)、相關(guān)指數(shù)的計算、最小二乘法的使用等等，這會使計算過程容易出錯；
就本題的題意而言，思路清晰、方向明確，找到解題的途徑并不難．