Question

6．設(shè)點$A（-2，\sqrt{3}）$，B（2，0），點M在橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$上運(yùn)動，當(dāng)|MA|+|MB|最大時，點M的坐標(biāo)為8+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 B為橢圓右焦點，設(shè)左焦點為F，則由橢圓定義|MA|+|MF|=2a，于是|MA|+|MB|=2a+|MA|-|MF|．有-|AF|＜|MA|-|MF|＜|BF|．顯然當(dāng)M在直線BF與橢圓第三象限交點時|MA|+|MB|有最大值．

解答 解：B為橢圓右焦點，設(shè)左焦點為F（-2，0），則由橢圓定義|MA|+|MF|=2a=8，
于是|MA|+|MB|=8+|MA|-|MF|．
當(dāng)M不在直線AF與橢圓交點上時，M、F、A三點構(gòu)成三角形，于是|MA|-|MF|＜|BF|，
而當(dāng)M在直線BF與橢圓交點上時，在第一象限交點時，有|MA|-|MF|=-|AF|，
在第三象限交點時有|MA|-|MF|=|BF|．
顯然當(dāng)M在直線BF與橢圓第三象限交點時|MA|+|MB|有最大值，
|MA|+|MB|=8+|MA|-|MF|=8+|AF|=8+$\sqrt{3}$
故答案為：8+$\sqrt{3}$

點評 本題考查橢圓的基本性質(zhì)，轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．