Question

某中學校本課程共開設了A，B，C，D共4門選修課，每個學生必須且只能選修1門課程課，現有該校的甲、乙、丙3名學生：
（I）求恰有2門選修課沒有被這3名學生選擇的概率；
（II）設3名學生選擇A選修課的人數為ξ，求ξ的概率分布列及數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）每個學生必須且只需選修1門選修課，每一人都有4種選擇，總共有4³，恰有2門選修課沒有被這3名學生選擇的概率，則有C₄²C₃²A₂²，從而求解；
（II）某一選修課被這3名學生選擇的人數為ξ，則ξ=0，1，2，3，分別算出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），再利用期望公式求解．

解答：解：（I）恰有2門選修課這3名學生都沒選擇的概率：P₂=

C 2 4 C 2 3 A 2 2

43

=

9

16

（6分）
（II）設A選修課被這3名學生選擇的人數為ξ，則ξ=0，1，2，3     （7分）
P（ξ=0）=

33

43

=

27

64

，P（ξ=1）=

C 1 3 •32

43

=

27

64

，P（ξ=2）=

3•C   1 3

43

=

9

64

，P（ξ=3）=

C 3 3

43

=

1

64

，
分布列如下圖：

ξ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

∴Eξ=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

（12分）

點評：此題主要考查離散型隨機變量的期望和方差，此類題也是高考必考的熱點，平時我們要多加練習．