Question

10．設(shè)直線l是過(guò)圓（x-4）²+y²=25與x軸正半軸交點(diǎn)的切線，試求到l與到此圓心的距離之比為3：2的點(diǎn)的軌跡，并指出此軌跡的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率．

Answer 1

分析 求出直線l，利用點(diǎn)到l與到此圓心的距離之比為3：2，建立方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：圓（x-4）²+y²=25與x軸正半軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（9，0），∴直線l：x=9．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則4|x-9|²=9（x-4）²+y²，
化簡(jiǎn)得$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{180}$=1，
∴a=6$\sqrt{5}$，b=6，c=2$\sqrt{39}$，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，±6$\sqrt{5}$），（±6，0）、焦點(diǎn)坐標(biāo)（0，±2$\sqrt{39}$），離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{195}}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查橢圓的性質(zhì)，確定軌跡方程是關(guān)鍵．