Question

如圖，是半圓的直徑，是半圓上除、外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面,，，，．

⑴證明：平面平面；

⑵試探究當(dāng)在什么位置時(shí)三棱錐的體積取得最大值，請(qǐng)說明理由并求出這個(gè)最大值．

 

Answer 1

【答案】

⑴是直徑，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071612424000994761/SYS201307161243083558962652_DA.files/image003.png">平面，，所以平面因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071612424000994761/SYS201307161243083558962652_DA.files/image008.png">，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071612424000994761/SYS201307161243083558962652_DA.files/image009.png">，所以，所以平面ACD，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071612424000994761/SYS201307161243083558962652_DA.files/image012.png">平面，所以平面平面

⑵當(dāng)為半圓弧中點(diǎn)時(shí)三棱錐的體積取得最大值，最大值為

【解析】

試題分析：⑴因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071612424000994761/SYS201307161243083558962652_DA.files/image001.png">是直徑，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071612424000994761/SYS201307161243083558962652_DA.files/image003.png">平面，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071612424000994761/SYS201307161243083558962652_DA.files/image018.png">，所以平面

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071612424000994761/SYS201307161243083558962652_DA.files/image008.png">，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071612424000994761/SYS201307161243083558962652_DA.files/image009.png">，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以平面，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071612424000994761/SYS201307161243083558962652_DA.files/image012.png">平面，所以平面平面

⑵依題意，，

由⑴知，

，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以當(dāng)為半圓弧中點(diǎn)時(shí)三棱錐的

體積取得最大值，最大值為

（備注：此時(shí)，，，設(shè)三棱錐的高為，則，）．

考點(diǎn)：線面垂直的判定與性質(zhì)及椎體體積

點(diǎn)評(píng)：第一問要證明兩面垂直只需證明其中一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一面，即轉(zhuǎn)化為證明線面垂直；第二問首先采用等體積法將所求椎體的體積轉(zhuǎn)化求解的角度，而后借助于均值不等式求得最大值