Question

（本題滿分14分）

已知函數(shù),,和直線： .

又. 

(1)求的值；

(2)是否存在的值，使直線既是曲線的切線，又是的切線；如果存在，求出k的值；如果不存在,說明理由.

(3)如果對(duì)于所有的,都有成立，求k的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）=－2.

（2）

(3)

【解析】解：（1）,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052319025950008375/SYS201205231905158281116001_DA.files/image005.png">所以=－2.   …………2分

  (2)因?yàn)橹本�恒過點(diǎn)（0，9）.先求直線是 的切線.

設(shè)切點(diǎn)為, …………3分

∵.∴切線方程為,

將點(diǎn)（0，9）代入得.

當(dāng)時(shí)，切線方程為=9, 當(dāng)時(shí)，切線方程為=.

由得，即有

當(dāng)時(shí)，的切線，

當(dāng)時(shí)， 的切線方程為…………6分

 是公切線，又由得或，

當(dāng)時(shí)的切線為，當(dāng)時(shí)的切線為，

，不是公切線， 綜上所述 時(shí)是兩曲線的公切線  ……7分

 (3).（1）得，當(dāng)，不等式恒成立，.

當(dāng)時(shí)，不等式為，……8分

 

而

當(dāng)時(shí)，不等式為， 

當(dāng)時(shí),恒成立，則          …………10分

（2）由得

當(dāng)時(shí)，恒成立，，當(dāng)時(shí)有 

設(shè)=，

當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，也為增函數(shù)

要使在上恒成立，則         …………12分

由上述過程只要考慮，則當(dāng)時(shí)=

在時(shí)，在時(shí)

在時(shí)有極大值即在上的最大值，…………13分

又，即而當(dāng),時(shí)，

一定成立，綜上所述.    …………14分