Question

（2013•深圳二模）已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²-（1-2a）x（a＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

ea

，2）上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；
（3）設(shè)函數(shù)y=f（x）圖象上任意不同的兩點(diǎn)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)為C（x₀，y₀），記直線AB的斜率為k，證明：k＞f′（x₀）．

Answer 1

分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后確定函數(shù)的極值，此題函數(shù)只有一個(gè)增區(qū)間，一個(gè)減區(qū)間，函數(shù)的極大值就是最大值；
（2）由（1）可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

ea

，2）上在x=1時(shí)取得最大值，當(dāng)x=

1

ea

和x=2時(shí)的函數(shù)值君小于0，所以由最大值的符號(hào)分析函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

ea

，2）上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（3）求出直線AB的斜率為k和f′（x₀），整理后把證明k＞f′（x₀）轉(zhuǎn)化為證明

ln x1 x2

x1-x2

＞

2

x1+x2

．構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

 （x＞1），利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)在（1，+∞）上為增函數(shù)征得結(jié)論．

解答：（1）解：由f（x）=lnx-ax²-（1-2a）x（a＞0），
得f′(x)=

1

x

-2ax-1+2a=

-(x-1)(2ax+1)

x

．
函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）上為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)．
∴f（x）_max=f（1）=ln1-a-1+2a=a-1．
（2）解：∵a＞0，∴e^a＞1，0＜

1

ea

＜1．
由（1）知：f（x）在(

1

ea

，1)上為增函數(shù)，在（1，2）上為減函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

ea

，2）上的f（1）=a-1．
∵f(

1

ea

)=ln

1

ea

-a•(

1

ea

)2-(1-2a)•

1

ea

=-a-

a

e2a

+

2a-1

ea

=

-a•e2a+2a•ea-ea-a

e2a

=

a•ea(a-ea)-ea-a

e2a

＜0．
f（2）=ln2-4a-2+4a=ln-2＜0．
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

ea

，2）上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

ea

，2）上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

ea

，2）上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2．
（3）證明：不妨設(shè)x₁＞x₂＞0，
則

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

lnx1-lnx2+ax22-ax12+(1-2a)x2-(1-2a)x1

x1-x2

=

ln x1 x2

x1-x2

-a(x1+x2)-(1-2a)．
f′(x0)=f′(

x1+x2

2

)=

-( x1+x2 2 -1)(2a• x1+x2 2 +1)

x1+x2 2

=

2

x1+x2

-a(x1+x2)+2a-1．
令g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

 （x＞1）．
g′(x)=

1

x

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0．
∴g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴g（x）＞g（1）=0．
則g(

x1

x2

)=ln

x1

x2

-

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

＞0，整理得：

ln x1 x2

x1-x2

＞

2

x1+x2

．
∴

ln x1 x2

x1-x2

-a(x1+x2)-(1-2a)＞

2

x1+x2

-a(x1+x2)+2a-1．
即k＞f′（x₀）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查了函數(shù)構(gòu)造法，屬于高考試卷中的壓軸題．