Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面， 垂直于和，為棱上的點(diǎn)，，.

（1）若為棱的中點(diǎn)，求證：//平面；

（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；

（3）在第（2）問條件下，設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成的角為，求當(dāng)取最大值時(shí)點(diǎn)的位置.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）即點(diǎn)N在線段CD上且

【解析】

（1）取線段SC的中點(diǎn)E，連接ME，ED．可證是平行四邊形，從而有，則可得線面平行；

（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立分別以AD、AB、AS所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面與平面的法向量，由法向量夾角的余弦值可得二面角的余弦值；

（3）設(shè)，其中，求出，由MN與平面所成角的正弦值為與平面的法向量夾角余弦值的絕對值可求得結(jié)論．

（1）證明：取線段SC的中點(diǎn)E，連接ME，ED．

在中，ME為中位線，∴且，

∵且，∴且，

∴四邊形AMED為平行四邊形．

∴．

∵平面SCD，平面SCD，

∴平面SCD．

（2）解：如圖所示以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立分別以AD、AB、AS所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，

由條件得M為線段SB近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)．

于是，即，

設(shè)平面AMC的一個(gè)法向量為，則，

將坐標(biāo)代入并取，得．

另外易知平面SAB的一個(gè)法向量為，

所以平面AMC與平面SAB所成的銳二面角的余弦為．

（3）設(shè)，其中．

由于，所以．

所以，

可知當(dāng)，即時(shí)分母有最小值，此時(shí)有最大值，

此時(shí)，，即點(diǎn)N在線段CD上且．