Question

1．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，cosA），$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=sin2C，且A、B、C分別為△ABC的三邊a、b、c所對的角，S_△ABC為△ABC的面積．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，且$\overrightarrow{CA}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{162\sqrt{3}}{{S}_{△ABC}}$，求△ABC的外接圓半徑R．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量的數(shù)量積公式求得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=sin（A+B），再由A+B+C=π，得sinC=sin2C，可得從而求得C的值．
（2）由sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，得2sinC=sinA+sinB，由條件利用正弦定理、余弦定理求得c邊的長，由正弦定理2R=$\frac{c}{sinC}$，求得R．

解答 解：$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=sinA•cosB，+sinB•cosA=sin（A+B），
△ABC中，A+B+C=π，
$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=sinC=sin2C，
故C=$\frac{π}{3}$，
∵sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，
∴sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理可知a+b=2c，
$\overrightarrow{CA}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=丨$\overrightarrow{CA}$丨•丨$\overrightarrow{CB}$丨cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$ab，
$\frac{162\sqrt{3}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{162\sqrt{3}}{\frac{1}{2}abcosC}$=$\frac{648}{ab}$，
$\frac{1}{2}$ab=$\frac{648}{ab}$，
∴ab=36，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=4c²-108，
∴c=6，
求△ABC的外接圓半徑R．2R=$\frac{c}{sinC}$，
∴R=2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查等差數(shù)列的性質，查兩個向量的數(shù)量積公式、正弦定理、余弦定理的應用，屬于中檔題．