Question

12．已知函數f（x）=x²+ax+b，a，b∈R，A={x|f（x）=x，x∈R}，B={x|f[f（x）]=x，x∈R}
（1）寫出集合A與B之間的關系，并證明；
（2）當A={-1，3}時，用列舉法表示集合．

Answer 1

分析 （1）若x∈A，則x=f（x）成立，則f[f（x）]=f（x）=x必成立，進而根據集合包含關系的定義，得到結論；
（2）由A={x|f（x）=x}={x|x²+ax+b=x}={x|x²+（a-1）x+b=0}={-1，3}，結合方程根與系數關系可求a，b，進而可求，f（x），然后代入B={x|f[f（x）]=x}整理可求．

解答 （1）證明：若x∈A，則x=f（x）成立，
則f[f（x）]=f（x）=x必成立，即x∈B，
故A⊆B；
（2）解：∵A={x|f（x）=x}={x|x²+ax+b=x}={x|x²+（a-1）x+b=0}={-1，3}，
∴-1，3是方程x²+（a-1）x+b=0的根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a=2}\\{b=-3}\end{array}\right.$，即a=-1，b=-3，
∴f（x）=x²-x-3，
∴B={x|f[f（x）]=x}={x|f（x²-x-3）=x}={x|（x²-x-3）²-（x²-x-3）-3=x}，
化簡可得，（x²-x-3）²-x²=0，
∴（x²-3）（x²-2x-3）=0，
∴x=$\sqrt{3}$或x=-$\sqrt{3}$或x=3或x=-1，
∴B={$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，-1，3}．

點評 本題主要考查了二次函數與二次方程之間關系的相互轉化，方程的根與系數關系的應用