Question

13．已知甲乙兩個(gè)商場(chǎng)相距6公里，由于交通的原因市民到甲商場(chǎng)每公里車費(fèi)到乙商場(chǎng)每公里車費(fèi)的2倍，若甲乙兩個(gè)商場(chǎng)同種商品價(jià)格都相同，為了節(jié)約起見，試確定市民到甲乙兩個(gè)商場(chǎng)購物的地區(qū)分界線，并畫出到甲商場(chǎng)購物的市民分布地區(qū)圖．

Answer 1

分析 以甲乙兩商場(chǎng)的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以甲乙兩商場(chǎng)所在直線為x軸，建立如圖的直角坐標(biāo)系，求得甲乙的坐標(biāo)，設(shè)出分界線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），由題意，可得到甲乙兩商場(chǎng)的路程之比為1：2，由兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求點(diǎn)的軌跡方程及軌跡，進(jìn)而得到所求區(qū)域．

解答 解：以甲乙兩商場(chǎng)的中點(diǎn)為原點(diǎn)，
以甲乙兩商場(chǎng)所在直線為x軸，建立如圖的直角坐標(biāo)系，
即有甲商場(chǎng)的坐標(biāo)為（-3，0），乙商場(chǎng)的坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)市民到甲乙兩個(gè)商場(chǎng)購物的地區(qū)分界線上
的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
由市民到甲商場(chǎng)每公里車費(fèi)到乙商場(chǎng)每公里車費(fèi)的2倍，
可得到甲乙兩商場(chǎng)的路程之比為1：2，
即有$\frac{\sqrt{（x+3）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
兩邊平方，化簡(jiǎn)可得，
x²+y²+10x+9=0，
即為（x+5）²+y²=16，
故市民到甲乙兩個(gè)商場(chǎng)購物的地區(qū)分界線為（-5，0）為圓心，4為半徑的圓，
到甲商場(chǎng)購物的市民分布地區(qū)圖為圓及內(nèi)部的區(qū)域．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的應(yīng)用題，考查圓的方程的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．